persamaan diferensial

Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya terdapat suku-suku diferensial parsial, yang dalam matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud. PDP digunakan untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan permasalahan yang melibatkan fungsi-fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan dibentuk oleh beberapa variabel, seperti penjalaran suara dan panas, elektrostatika, elektrodinamika, aliran fluida, elastisitas, atau lebih umum segala macam proses yang terdistribusi dalam ruang, atau terdistribusi dalam ruang dan waktu.


Persamaan diferensial biasa: DOC
format file: Microsoft Word
Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.

Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.


GETARAN SELARAS SEDERHANA: DOC
format file: Microsoft Word
Pada getaran selaras lambat ini, masih terjadi osilasi/getaran tetapi amplitudo mengecil dikarenakan faktor tenaga yang diperlukan untuk mengatasi redaman. Tenaga sistem getaran tidak konstan, tetapi berkurang secara berangsur oleh adanya gaya peredam yang bersifat disipatif sebagaimana gaya gesek pada umumnya.

Persamaan diferensial getaran selaras terpaksa, Amplitudo keadaan mantap mencapai harga maksimum jika sistem dalam keadaan resonansi, yakni saat terjadi resonansi antara gaya pemaksa dengan sistem getaran. Sistem getaran menyerap tenaga atau daya paling besar dari gaya pemaksa. Hal ini terjadi saat berharga p/2.


PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA: DOC
format file: Microsoft Word
Penyelesaian persamaan diferensial adalah suatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensial dan juga memenuhi kondisi awal yang diberikan pada persamaan tersebut. Di dalam penyelesaian persamaan diferensial secara analitis, biasanya dicari penyelesaian umum yang mengandung konstanta sembarang dan kemudian mengevaluasi konstanta tersebut sedemikian sehingga hasilnya sesuai dengan kondisi awal. Metode penyelesaian persamaan diferensial secara analitis terbatas pada persamaan-persamaan dengan bentuk tertentu, dan biasanya hanya untuk menyelesaikan persamaan linier dengan koefisien konstan.

Untuk mendapatkan penyelesaian tunggal diperlukan informasi tambahan, misalnya nilai y (x) dan atau turunannya pada nilai x tertentu. Untuk persamaan order n biasanya diperlukan n kondisi untuk mendapatkan penyelesaian tunggal y (x). Apabila semua n kondisi diberikan pada nilai x yang sama (misalnya x0), maka permasalahan disebut dengan problem nilai awal. Apabila dilibatkan lebih dari satu nilai x, permasalahan disebut dengan problem nilai batas.


SOLUSI PERSAMAAN GELOMBANG: DOC
format file: Microsoft Word
Tampilan yang dihasilkan dari program ini berupa visualisasi solusi persamaan gelombang satu dimensi dalam beberapa waktu update, nilai pada hasil visualisasi, dan grafik terhadap x pada tiap waktu t. Ada tiga macam gelombang yang dapat divisualisasikan dalam program ini, yaitu gelombang linier, gelombang nonlinier kuadratik, dan gelombang nonlinier kubik. Pada hasil visualisasi gelombang nonlinier kuadratik, tampak bahwa pengaruh nonlinier lebih cepat bila dibandingkan dengan gelombang nonlinier kubik. Sedangkan pada gelombang nonlinier kubik memiliki hasil yang hampir sama dengan visualisasi pada gelombang linier.

Pada tahun 2002 Stephen Wolfram dalam buku “A New Kind of Science“ membahas model continuous cellular automata. Model continuous cellular automata dapat digunakan untuk memvisualisasikan persamaan diferensial parsial, dimana gradasi warna disusun dari kekontinyuan persamaan tersebut dalam ruang dan waktu (Wolfram, 2002:161). Karena persamaan gelombang disajikan dalam bentuk persamaan diferensial parsial, maka dapat divisualisasikan dengan model continuous cellular automata.


PERSAMAAN DIFERENSIAL: DOC
format file: Microsoft Word
Sistem persamaan diferensial biasa order tinggi diketahui dapat dirumuskan kembali dalam bentuk sistem persamaan diferensial biasa order satu. Dalam notasi vektor rumusannya adalah y’ = f(t, y), y(t0) diketahui . Persoalan utama adalah, bagaimana mendapatkan solusi sebenarnya y(t), untuk semua t > t0, berdasarkan data tersebut.

Pada dasarnya ada dua cara penting dalam menghitung yn+1. Cara yang pertama adalah menetapkan yn+1 dengan menoleh ke belekang memanfaatkan k buah data terakhir tersebut melalui interpolasi linear. Cara ini disebut linear multi-step methods (LMM). Terkenallah metode Adams-Bashford, Adam-Moulton, dan cara BDF (Backward Differentiation Formula). – Cara yang kedua adalah tanpa menoleh ke belakang. Hanya dengan bantuan data terkini (yn, yn’) saja. Inilah metode Runge-Kutta yang akan dibahas lebih lanjut disini.